Условие
На рисунке изображён график функции y=f′(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−8; 8). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Подсказка
Где производная отрицательна, функция убывает: ищите участки графика ниже оси Ox.
Посмотрите внимательно, где график только касается оси, не переходя на другую сторону.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Связываем убывание со знаком производной
Функция убывает там, где f′(x)<0, то есть где график производной лежит ниже оси Ox. Отдельные точки, в которых f′=0, промежуток убывания не разрывают.
- Находим нули производной
График f′ пересекает ось Ox при x=−6, −3, 2, 4 и касается её при x=−1. В точке касания производная обращается в ноль, но знак не меняет: слева и справа от −1 график ниже оси.
- Выписываем промежутки убывания
f′≤0 на (−8; −6], [−3; 2], [4; 8). Средний промежуток целый: точка x=−1 — стационарная, но функция и слева, и справа от неё убывает.
- Сравниваем длины
Длины: −6−(−8)=2, 2−(−3)=5, 8−4=4. Наибольшая длина 5. Если разрезать средний промежуток в точке касания на части длиной 2 и 3, получится неверный ответ 4.
Ответ: 5