Условие
Чтобы оценить глубину колодца, в него бросают камень без начальной скорости и засекают время до момента, когда слышен всплеск. Это время складывается из времени падения камня t1 = √(2h/g) и времени, за которое звук поднимается со дна, t2 = h/c, где h — глубина в метрах, g = 10 м/с², c = 320 м/с — скорость звука в морозном воздухе. Всплеск услышали через 4,25 с после броска. Найдите глубину колодца. Ответ дайте в метрах.
Подсказка
Полное время равно сумме времени падения и времени движения звука.
Введите новую переменную s = √(h/5) — время падения; тогда h = 5s².
Показать ответ
80
Пошаговое решение
- Составляем уравнение
t1 + t2 = 4,25: √(2h/10) + h/320 = 4,25, то есть √(h/5) + h/320 = 4,25.
- Делаем замену
Обозначим s = √(h/5) ≥ 0 — это время падения камня. Тогда h = 5s², и h/320 = 5s²/320 = s²/64. Уравнение принимает вид s + s²/64 = 4,25.
- Решаем квадратное уравнение
Умножаем на 64: s² + 64s − 272 = 0. Дискриминант D = 64² + 4·272 = 4096 + 1088 = 5184 = 72², корни s = (−64 + 72)/2 = 4 и s = (−64 − 72)/2 = −68.
- Отбираем корень и находим глубину
s ≥ 0, поэтому s = 4 с. Тогда h = 5·4² = 80 м. Проверка: камень падает 4 с, звук идёт 80 : 320 = 0,25 с, всего 4,25 с. Типичная ошибка — забыть про время звука и считать, что камень падал все 4,25 с: получится 5·4,25² ≈ 90 м.
Ответ: 80