Условие
Атмосферное давление на высоте h километров над уровнем моря приближённо равно p(h) = p₀·2^(−h/5,5), где p₀ — давление на уровне моря (в этот день оно неизвестно). Альпинисты измерили давление в базовом лагере на высоте 1,1 км — 640 мм рт. ст., а на вершине горы — 320 мм рт. ст. Найдите высоту вершины над уровнем моря в километрах.
Подсказка
Разделите одно равенство на другое, чтобы избавиться от неизвестного p₀.
Во сколько раз давление на вершине меньше, чем в лагере?
Показать ответ
6,6
Пошаговое решение
- Записываем оба измерения
640 = p₀·2^(−1,1/5,5) = p₀·2^(−1/5) и 320 = p₀·2^(−h/5,5). Давление p₀ неизвестно, поэтому делим второе равенство на первое — p₀ сократится.
- Делим равенства
320/640 = 2^(−h/5,5) : 2^(−1,1/5,5) = 2^(−(h − 1,1)/5,5). Слева 1/2 = 2^(−1).
- Решаем показательное уравнение
−(h − 1,1)/5,5 = −1, откуда h − 1,1 = 5,5 и h = 6,6 км. Разница высот — ровно 5,5 км: на такую высоту надо подняться, чтобы давление упало вдвое.
- Разбираем типичную ошибку
Если принять давление в лагере за p₀, получится h = 5,5 км — это высота вершины над лагерем, а не над уровнем моря. Высоту лагеря 1,1 км нужно прибавить.
Ответ: 6,6