Условие
Подводная лодка движется к неподвижному препятствию со скоростью v м/с и посылает ультразвуковой сигнал частотой f0 = 245 кГц. Частота отражённого сигнала, который принимает лодка, равна f = f0·(c + v)/(c − v), где c = 1500 м/с — скорость звука в воде. Приёмник работает, если частота принятого сигнала не превышает 255 кГц. Найдите наибольшую скорость лодки, при которой приёмник будет работать. Ответ дайте в метрах в секунду.
Подсказка
Запишите условие «частота не превышает 255 кГц» как неравенство с дробью.
Знаменатель c − v положителен, поэтому на него можно умножить обе части неравенства.
Показать ответ
30
Пошаговое решение
- Составляем неравенство
Условие работы приёмника: f ≤ 255. Подставляем f0 = 245 и c = 1500: 245·(1500 + v)/(1500 − v) ≤ 255. Частоты обе в килогерцах, поэтому переводить единицы не нужно.
- Избавляемся от знаменателя
Скорость лодки заведомо меньше скорости звука, поэтому 1500 − v > 0, и можно умножить обе части на 1500 − v, не меняя знака неравенства: 245·(1500 + v) ≤ 255·(1500 − v).
- Раскрываем скобки и собираем v в одной части
367 500 + 245v ≤ 382 500 − 255v, откуда 245v + 255v ≤ 382 500 − 367 500, то есть 500v ≤ 15 000.
- Находим наибольшую скорость
v ≤ 15 000 : 500 = 30. При v = 30 частота ровно 255 кГц — это ещё допустимо. Типичная ошибка — умножить только числитель и забыть, что v стоит и в знаменателе: из 245·(1500 + v) ≤ 255·1500 получилось бы около 61 м/с.
Ответ: 30