Условие
Сила притяжения космического корабля массой m к небесному телу массой M вычисляется по формуле F = G·m·M/r², где G — гравитационная постоянная, r — расстояние от корабля до центра тела. Масса Земли в 81 раз больше массы Луны, а расстояние между их центрами равно 384 000 км. Корабль летит от Земли к Луне по прямой, соединяющей их центры. На каком расстоянии от центра Земли сила притяжения корабля к Земле будет равна силе его притяжения к Луне? Ответ дайте в километрах.
Подсказка
Обозначьте расстояние до центра Земли через x и выразите через x расстояние до центра Луны.
После сокращения G, m и M сравните квадраты расстояний; помните, что оба расстояния положительны.
Показать ответ
345600
Пошаговое решение
- Составляем уравнение
Пусть x км — расстояние от корабля до центра Земли, тогда до центра Луны 384 000 − x км, где 0 < x < 384 000. Обозначим массу Луны M, тогда масса Земли 81M. Приравниваем силы: G·m·81M/x² = G·m·M/(384 000 − x)².
- Сокращаем общие множители
G, m и M положительны, на них можно разделить: 81/x² = 1/(384 000 − x)², то есть x² = 81·(384 000 − x)².
- Извлекаем корень
Обе величины x и 384 000 − x положительны, поэтому x = √81·(384 000 − x) = 9·(384 000 − x). Отсюда x + 9x = 9·384 000, то есть 10x = 3 456 000, x = 345 600.
- Проверяем смысл ответа
345 600 < 384 000, точка лежит между Землёй и Луной, до Луны остаётся 38 400 км: расстояние в 9 раз меньше, а квадрат расстояния — в 81 раз, как и масса. Второй корень уравнения x = 432 000 лежит за Луной и не подходит. Типичная ошибка — забыть извлечь корень и считать, что расстояния относятся как массы, 81 : 1: получится около 379 300 км.
Ответ: 345600