Условие
При адиабатическом сжатии одноатомного газа его давление и объём связаны соотношением p·V^(5/3) = const, где p — давление газа (в кПа), V — его объём (в литрах). В начальный момент объём газа равен 24 л, а давление — 100 кПа. Стенки сосуда выдерживают давление не более 3200 кПа. До какого наименьшего объёма можно сжать газ? Ответ дайте в литрах.
Подсказка
Приравняйте константу к её значению в начальный момент и выразите p через V.
Дробный показатель снимается возведением обеих частей в обратную степень; представьте 32 как степень двойки.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Составляем неравенство
Константа одна и та же: p·V^(5/3) = 100·24^(5/3), поэтому p = 100·(24/V)^(5/3). Условие p ≤ 3200 даёт 100·(24/V)^(5/3) ≤ 3200.
- Упрощаем
Делим на 100: (24/V)^(5/3) ≤ 32.
- Избавляемся от дробного показателя
Функция z^(3/5) возрастает при z > 0, поэтому возводим обе части в степень 3/5: 24/V ≤ 32^(3/5). Так как 32 = 2⁵, то 32^(3/5) = 2³ = 8.
- Находим объём
24/V ≤ 8, откуда V ≥ 24 : 8 = 3. Наименьший объём — 3 л. Типичная ошибка — считать, что давление обратно пропорционально объёму, как при постоянной температуре: тогда получилось бы 24 : 32 = 0,75 л.
Ответ: 3