Условие
Два насоса, работая вместе, откачивают воду из котлована за t часов, где 1/t = 1/t₁ + 1/t₂, а t₁ и t₂ — время работы каждого насоса в одиночку. Вместе насосы справляются за 6 часов, а второму насосу одному нужно на 5 часов больше, чем первому. За сколько часов откачает воду один первый насос?
Подсказка
Обозначьте время первого насоса через x и выразите через x время второго.
После умножения на общий знаменатель получится квадратное уравнение; вспомните, что время положительно.
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Вводим неизвестное
Пусть первый насос в одиночку работает x часов, тогда второй — x + 5 часов. Формула даёт уравнение 1/x + 1/(x + 5) = 1/6, где x > 0.
- Освобождаемся от знаменателей
Умножаем обе части на 6x(x + 5), это число положительно: 6(x + 5) + 6x = x(x + 5), то есть 12x + 30 = x² + 5x.
- Решаем квадратное уравнение
x² − 7x − 30 = 0. Дискриминант 49 + 120 = 169 = 13², корни x = (7 + 13)/2 = 10 и x = (7 − 13)/2 = −3.
- Отбираем корень
Время не может быть отрицательным, остаётся x = 10. Проверка: 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6. Типичная ошибка — считать, что вместе насосы работают «в среднем» и время одного — вдвое больше 6, то есть 12 часов: так было бы только при одинаковых насосах.
Ответ: 10