Условие
Бактерии в культуре делятся синхронно: каждые 20 минут все клетки одновременно делятся, и число клеток удваивается. Поэтому в моменты t, кратные 20 минутам, число клеток равно N(t) = N₀·2^(t/20), где N₀ — начальное число клеток, а между делениями число клеток не меняется. В начальный момент в культуре 500 клеток. Через сколько минут после начала наблюдения число клеток впервые превысит 50 000?
Подсказка
Во сколько раз число клеток должно вырасти по сравнению с начальным?
Число делений — целое; найдите наименьшую степень двойки, которая больше нужного отношения.
Показать ответ
140
Пошаговое решение
- Записываем условие через число делений
Пусть прошло k делений, тогда t = 20k минут и N = 500·2^k. Нужно 500·2^k > 50 000. Между делениями число клеток не растёт, поэтому искать t нужно только среди чисел, кратных 20.
- Делим на начальное число клеток
2^k > 50 000 : 500 = 100. Уравнение 2^k = 100 целого решения не имеет: 100 — не степень двойки.
- Ищем наименьшее целое k
Выписываем степени двойки: 2⁶ = 64 < 100, а 2⁷ = 128 > 100. Значит, наименьшее подходящее k = 7. Проверка: после 6 делений клеток 500·64 = 32 000, это ещё меньше 50 000; после 7 делений — 500·128 = 64 000, уже больше.
- Переводим число делений в минуты
t = 20·7 = 140 минут. Типичная ошибка — остановиться на 6 делениях, раз 2⁶ = 64 «близко» к 100, и получить 120 минут: тогда клеток ещё только 32 000.
Ответ: 140