Условие
Выручка нового кафе в первый месяц работы составила 300 тыс. руб., а в каждый следующий месяц она была на 40 тыс. руб. больше, чем в предыдущий. Суммарная выручка за первые n месяцев (в тыс. руб.) вычисляется по формуле S(n) = 300n + 20n(n − 1). За какое наименьшее число месяцев суммарная выручка кафе составит не менее 5 000 тыс. руб.?
Подсказка
Раскройте скобки в S(n) и сократите неравенство S(n) ≥ 5 000 на общий множитель.
Корень квадратного уравнения получится иррациональным: оцените его между соседними целыми числами.
Показать ответ
11
Пошаговое решение
- Составляем неравенство
S(n) = 300n + 20n² − 20n = 20n² + 280n. Условие: 20n² + 280n ≥ 5 000. Делим на 20: n² + 14n ≥ 250, то есть n² + 14n − 250 ≥ 0.
- Находим корни
n = −7 ± √(49 + 250) = −7 ± √299. Ветви параболы направлены вверх, левый корень отрицателен, а число месяцев положительно, поэтому нужно n ≥ −7 + √299.
- Оцениваем корень
17² = 289 < 299 < 324 = 18², значит 17 < √299 < 18 и 10 < −7 + √299 < 11. Корень не целый, а число месяцев целое — берём ближайшее большее целое: n = 11.
- Проверяем
S(10) = 20·100 + 280·10 = 4 800 < 5 000, S(11) = 20·121 + 280·11 = 5 500 ≥ 5 000. Типичная ошибка — округлить корень ≈ 10,3 по правилам до 10: за 10 месяцев набирается только 4 800 тыс. руб.
Ответ: 11