Условие
Численность первой колонии бактерий через t часов после начала наблюдения равна N₁(t) = 200·2^(t/4), а численность второй колонии, которую обработали антибиотиком, равна N₂(t) = 51 200·2^(−t/4). Через сколько часов после начала наблюдения численности колоний станут равными?
Подсказка
Приравняйте N₁(t) и N₂(t) и соберите все степени двойки в одной части.
Произведение 2^(t/4)·2^(t/4) — это одна степень двойки; сложите показатели.
Показать ответ
16
Пошаговое решение
- Приравниваем численности
200·2^(t/4) = 51 200·2^(−t/4). Первая колония растёт, вторая убывает, поэтому момент равенства один.
- Собираем степени в одной части
Умножаем обе части на 2^(t/4) и делим на 200: 2^(t/4)·2^(t/4) = 51 200 : 200 = 256. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: 2^(t/4 + t/4) = 2^(t/2).
- Решаем показательное уравнение
2^(t/2) = 256 = 2^8, откуда t/2 = 8 и t = 16.
- Проверяем и разбираем ошибку
N₁(16) = 200·2^4 = 3200, N₂(16) = 51 200 : 2^4 = 3200 — равны. Типичная ошибка — после деления записать 2^(t/4) = 256, забыв, что степень 2^(t/4) встречается дважды: получится t = 32, но тогда N₁ = 200·2^8 = 51 200, а N₂ = 51 200 : 2^8 = 200.
Ответ: 16