Условие
После приёма одной дозы лекарства его концентрация в крови через t часов равна C(t) = 80·2^(−t/4) (мкг/мл). Через 8 часов после первой дозы пациент принял вторую такую же дозу; концентрации от двух доз складываются. Через сколько часов после приёма второй дозы концентрация лекарства снизится до 25 мкг/мл?
Подсказка
Обозначьте через s время после второй дозы и выразите через s время после первой.
У двух слагаемых есть общий множитель — степень двойки с показателем −s/4.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Записываем концентрацию от каждой дозы
Пусть после второй дозы прошло s часов. Тогда после первой прошло s + 8 часов. Первая доза даёт 80·2^(−(s + 8)/4), вторая — 80·2^(−s/4).
- Выносим общий множитель
2^(−(s + 8)/4) = 2^(−s/4)·2^(−2) = (1/4)·2^(−s/4). Сумма: 80·2^(−s/4)·(1 + 1/4) = 80·(5/4)·2^(−s/4) = 100·2^(−s/4).
- Решаем показательное уравнение
100·2^(−s/4) = 25, откуда 2^(−s/4) = 25/100 = 1/4 = 2^(−2). Основания равны, значит −s/4 = −2 и s = 8.
- Проверяем и разбираем ошибки
При s = 8: первая доза даёт 80·2^(−4) = 5, вторая 80·2^(−2) = 20, вместе 25 — верно. Если отсчитывать время от первой дозы, получится 16 — но спрашивают о времени после второй. Если забыть про первую дозу, получится 2^(−s/4) = 25/80 = 5/16, и ответ будет меньше верного.
Ответ: 8