Условие
Напряжение в сети меняется по закону U(t) = 311·sin(100πt), где t — время в секундах, U — напряжение в вольтах. Неоновая лампа, включённая в сеть, горит, когда модуль напряжения не меньше 155,5 В, и гаснет, когда он меньше. Сколько секунд в течение одной минуты лампа горит?
Подсказка
Разделите обе части неравенства на 311 — получится модуль синуса и табличное число.
Найдите, какую часть одного периода выполняется неравенство, и учтите обе полуволны.
Показать ответ
40
Пошаговое решение
- Записываем условие горения
|311·sin(100πt)| ≥ 155,5. Делим на 311: |sin(100πt)| ≥ 155,5/311 = 1/2. Обозначим x = 100πt.
- Решаем неравенство на одном периоде
Период синуса 2π. На отрезке [0; 2π] условие sin x ≥ 1/2 выполняется при x ∈ [π/6; 5π/6] — длина 2π/3, а условие sin x ≤ −1/2 — при x ∈ [7π/6; 11π/6], тоже длина 2π/3. Модуль учитывает обе полуволны: лампа горит и при положительном, и при отрицательном напряжении.
- Находим долю времени
Суммарная длина 2π/3 + 2π/3 = 4π/3 из периода 2π, то есть доля (4π/3) : 2π = 2/3. Период напряжения 2π/(100π) = 0,02 с, в минуте целое число периодов (3000), поэтому та же доля сохраняется и для минуты.
- Вычисляем время
60·(2/3) = 40 с. Типичная ошибка — забыть модуль и учесть только sin x ≥ 1/2: доля будет 1/3, и получится 20 с.
Ответ: 40