Условие
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать, и высота столба воды в баке, выраженная в метрах, меняется по закону H(t) = H0 − √(2gH0)·k·t + (g/2)·k²·t², где t — время в минутах, H0 = 3,2 м — начальная высота столба воды, k = 1/40 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, g = 10 м/с². Через сколько минут после открытия крана высота столба воды станет равна 0,8 м?
Подсказка
Сначала вычислите все коэффициенты формулы, а потом приравняйте H(t) к 0,8.
Получится два корня. Найдите, когда бак опустеет, и проверьте, какой корень имеет смысл.
Показать ответ
16
Пошаговое решение
- Подставляем числа в формулу
√(2·10·3,2) = √64 = 8; 8·(1/40) = 0,2; (10/2)·(1/40)² = 5/1600 = 1/320. Получаем H(t) = 3,2 − 0,2t + t²/320.
- Составляем уравнение
3,2 − 0,2t + t²/320 = 0,8. Умножаем на 320: 1024 − 64t + t² = 256, то есть t² − 64t + 768 = 0.
- Решаем квадратное уравнение
D = 64² − 4·768 = 4096 − 3072 = 1024 = 32². Корни t = (64 − 32)/2 = 16 и t = (64 + 32)/2 = 48.
- Отбираем корень по смыслу
Формула описывает вытекание только до того момента, когда бак опустеет. H(t) = 0 при t² − 64t + 1024 = 0, то есть (t − 32)² = 0, t = 32 мин. Корень 48 больше 32: к этому времени вода уже вытекла, и «подъём» параболы после вершины ничего не описывает. Ответ — 16 мин.
Ответ: 16