Условие
Скорость, которую ракета набирает после сгорания топлива, вычисляется по формуле Циолковского v = u·ln(M₀/M), где u — скорость истечения газов, M₀ — стартовая масса ракеты, M — её масса после сгорания всего топлива. Ракета, у которой топливо составляет 50% стартовой массы, разгоняется до скорости v₁. Сколько процентов стартовой массы должно составлять топливо у ракеты с таким же двигателем, чтобы она разогналась до скорости 3v₁?
Подсказка
Найдите отношение M₀/M для первой ракеты и запишите v₁ через логарифм.
Число 3·ln 2 можно записать как логарифм одного числа.
Показать ответ
87,5
Пошаговое решение
- Находим скорость первой ракеты
Топливо — половина массы, значит после его сгорания остаётся M = M₀/2 и M₀/M = 2. Тогда v₁ = u·ln 2.
- Записываем условие для второй ракеты
u·ln(M₀/M) = 3·u·ln 2. Делим на u > 0: ln(M₀/M) = 3·ln 2 = ln(2³) = ln 8. Логарифм — возрастающая функция, поэтому M₀/M = 8.
- Находим долю топлива
После сгорания остаётся 1/8 стартовой массы, значит топливо составляет 1 − 1/8 = 7/8 массы, то есть (7/8)·100% = 87,5%.
- Разбираем типичную ошибку
Скорость пропорциональна логарифму отношения масс, а не самому отношению. Если решить, что отношение масс нужно просто утроить (M₀/M = 6), получится доля 5/6, то есть около 83%, — и ракета наберёт лишь u·ln 6, меньше 3v₁. А «утроить долю топлива» до 150% вообще невозможно.
Ответ: 87,5