Условие
Зависимость объёма спроса q (тыс. единиц в месяц) на продукцию предприятия от цены p (тыс. руб. за единицу) задаётся формулой q = 180 − 12p. Выручка предприятия за месяц r (млн руб.) вычисляется по формуле r = q·p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 600 млн руб. Ответ дайте в тысячах рублей.
Подсказка
Подставьте формулу q в r = q·p и запишите неравенство r ≥ 600.
Получится квадратное неравенство; решение — отрезок между корнями. Какой его конец нужен?
Показать ответ
10
Пошаговое решение
- Составляем неравенство
Выручка r = q·p = (180 − 12p)·p. Условие «не менее 600» записываем так: (180 − 12p)·p ≥ 600, то есть 180p − 12p² ≥ 600.
- Приводим к стандартному виду
Переносим всё вправо: 12p² − 180p + 600 ≤ 0. Делим на 12 (знак неравенства не меняется, 12 > 0): p² − 15p + 50 ≤ 0.
- Находим корни и решаем неравенство
Корни уравнения p² − 15p + 50 = 0: по теореме Виета p = 5 и p = 10 (5 + 10 = 15, 5·10 = 50). Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение не больше нуля между корнями: 5 ≤ p ≤ 10.
- Выбираем нужную границу
Спрашивают наибольшую цену — это правый конец отрезка, p = 10. Проверка: q = 180 − 12·10 = 60, r = 60·10 = 600 — ровно 600, условие выполнено. Типичная ошибка — взять меньший корень 5: это наименьшая подходящая цена, а не наибольшая.
Ответ: 10