Условие
При каком значении p график функции y = 2x² − 12x + p имеет с осью Ox ровно одну общую точку?
Подсказка
Одна общая точка с осью Ox — значит, парабола касается оси своей вершиной.
Найдите абсциссу вершины по формуле −b/(2a) и подставьте её: значение функции там должно быть 0.
Показать ответ
18
Пошаговое решение
- Переводим условие на язык вершины
Парабола имеет с осью Ox ровно одну общую точку, только если касается оси, то есть её вершина лежит на оси Ox: ордината вершины равна 0.
- Находим абсциссу вершины
x₀ = −b/(2a) = 12/(2·2) = 3. Она не зависит от p.
- Приравниваем ординату вершины к нулю
y(3) = 2·3² − 12·3 + p = 18 − 36 + p = −18 + p = 0, откуда p = 18. Проверка через дискриминант: D = 144 − 4·2·p = 144 − 8p = 0, p = 18.
- Типичная ошибка
В дискриминанте D = b² − 4ac легко потерять множитель a = 2 и написать 144 − 4p = 0; тогда p = 36, и вершина оказалась бы выше оси Ox — общих точек не было бы.
Ответ: 18