Условие
Сколько целых чисел являются решениями неравенства 9x − x² > 0?
Подсказка
Вынесите общий множитель за скобки.
Какого знака коэффициент при x²? Куда направлены ветви параболы?
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Выносим общий множитель
Свободного члена нет, поэтому выносим x за скобки: x(9 − x) > 0. Нули левой части: x = 0 и x = 9.
- Определяем, где выражение положительно
y = 9x − x² — парабола, коэффициент при x² равен −1, ветви направлены вниз. Выше оси Ox такая парабола лежит между корнями, знак строгий, поэтому 0 < x < 9.
- Считаем целые решения
Целые числа строго между 0 и 9: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 — их 8. Сами 0 и 9 не подходят: в них левая часть равна 0, а 0 > 0 неверно.
- Разбираем типичную ошибку
Нельзя делить обе части на x: знак x заранее неизвестен. «Сократив» на x, получают 9 − x > 0, то есть x < 9, и бесконечно много целых решений, хотя, например, x = −1 даёт −9 − 1 = −10 < 0.
Ответ: 8