Условие
Решите неравенство (x + 3)/(x − 4) ≥ 0. В ответе укажите наименьшее натуральное число, являющееся его решением.
Подсказка
Найдите нули числителя и знаменателя. Какая из этих точек никогда не входит в ответ?
Определите знак дроби на каждом промежутке и проверьте натуральные числа по порядку.
Показать ответ
5
Пошаговое решение
- Отмечаем особые точки
Числитель x + 3 равен нулю при x = −3: там дробь равна 0, и при знаке ≥ эта точка входит в ответ. Знаменатель x − 4 равен нулю при x = 4: там дробь не существует, эта точка выколота.
- Расставляем знаки
При x > 4 числитель и знаменатель положительны — дробь «+». Дальше знаки чередуются: на (−3; 4) «−» (например, x = 0 даёт 3/(−4) < 0), при x < −3 снова «+».
- Записываем решение
Дробь неотрицательна при x ≤ −3 или x > 4, то есть на (−∞; −3] ∪ (4; +∞).
- Выбираем наименьшее натуральное
Натуральные числа 1, 2, 3 лежат в промежутке (−3; 4), где дробь отрицательна. Число 4 не подходит: знаменатель обращается в ноль. Первое подходящее натуральное число — 5: дробь равна 8/1 = 8 ≥ 0.
- Разбираем типичную ошибку
Если забыть про знаменатель и решать x + 3 ≥ 0, получится x ≥ −3 и ответ 1, хотя при x = 1 дробь равна 4/(−3) < 0. Если закрасить точку 4 из-за нестрогого знака, получится ответ 4 — но на ноль делить нельзя.
Ответ: 5