Условие
Решите методом интервалов неравенство (x + 5)(x + 1)(x − 3) < 0. Какой рисунок соответствует множеству его решений?
Подсказка
Отметьте на прямой нули всех трёх множителей и определите знак произведения на самом правом промежутке.
Если корень встречается один раз, знак произведения при переходе через него меняется.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Находим нули множителей
x + 5 = 0 при x = −5, x + 1 = 0 при x = −1, x − 3 = 0 при x = 3. Эти точки делят прямую на четыре промежутка.
- Расставляем знаки
При x > 3 все три множителя положительны, произведение со знаком «+». Каждый корень простой, поэтому при переходе через него знак меняется: на (−1; 3) «−», на (−5; −1) «+», левее −5 «−». Проверка: x = 0 даёт 5·1·(−3) = −15 < 0 — промежуток (−1; 3) действительно отрицательный.
- Выбираем рисунок
Нужны промежутки со знаком «−»: x < −5 или −1 < x < 3. Знак строгий, все три точки выколоты — рисунок 2. На рисунке 1 взяты промежутки со знаком «+», на рисунке 3 потерян левый луч, на рисунке 4 точки закрашены, хотя неравенство строгое.
Ответ: 2