Условие
Найдите множество решений неравенства x² + 6x + 11 > 0 и отметьте номер правильного ответа: 1) решений нет 2) (−3; +∞) 3) (−∞; −3) ∪ (−3; +∞) 4) (−∞; +∞).
Подсказка
Вычислите дискриминант. Пересекает ли парабола ось Ox?
Куда направлены ветви параболы, если она не пересекает ось?
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Ищем корни трёхчлена
D = 6² − 4·1·11 = 36 − 44 = −8 < 0. Уравнение x² + 6x + 11 = 0 корней не имеет: парабола не пересекает ось Ox.
- Определяем положение параболы
Коэффициент при x² равен 1 > 0, ветви вверх. Парабола, которая не касается оси и смотрит вверх, целиком лежит выше оси. Значит, x² + 6x + 11 > 0 при любом x. То же видно из полного квадрата: x² + 6x + 11 = (x + 3)² + 2 ≥ 2 > 0.
- Выбираем ответ
Решение — вся числовая прямая (−∞; +∞), вариант 4. Типичная ошибка — рассуждать «D < 0, значит решений нет» (вариант 1): так верно для уравнения, а здесь неравенство выполняется всегда. Вариант 3 тоже неверен: при x = −3 левая часть равна 9 − 18 + 11 = 2 > 0.
Ответ: 4