Условие
Шары выкладывают треугольником: в первом ряду 1 шар, во втором 2, в третьем 3 и так далее. Получаются «треугольные числа» 1, 3, 6, 10, … — число шаров в треугольнике из n рядов. Сколько рядов в треугольнике, выложенном из 210 шаров?
Подсказка
Число шаров в треугольнике из n рядов — сумма 1 + 2 + … + n.
Сумму выразите по формуле суммы арифметической прогрессии и приравняйте к числу шаров.
Показать ответ
20
Пошаговое решение
- Записываем формулу n-го треугольного числа
Треугольник из n рядов содержит 1 + 2 + … + n шаров. Это сумма арифметической прогрессии: Tₙ = n(n + 1)/2. Проверка: T₄ = 4·5/2 = 10.
- Составляем уравнение
n(n + 1)/2 = 210, n(n + 1) = 420, n² + n − 420 = 0.
- Решаем уравнение
D = 1 + 4·420 = 1681 = 41², n = (−1 + 41)/2 = 20; второй корень (−1 − 41)/2 отрицателен и не подходит.
- Проверяем
T₂₀ = 20·21/2 = 210. Типичная ошибка — забыть деление на 2 и решать n(n + 1) = 210: получится n = 14, но в 14 рядах лишь 14·15/2 = 105 шаров.
Ответ: 20