Условие
При свободном падении тело за первую секунду проходит 5 м, а за каждую следующую секунду — на 10 м больше, чем за предыдущую. Камень без начальной скорости упал на дно шахты, причём за последнюю секунду падения он пролетел 65 м. Найдите глубину шахты. Ответ дайте в метрах.
Подсказка
Путь за каждую секунду — член арифметической прогрессии. Какой номер у члена, равного 65?
Глубина шахты — это сумма путей за все секунды падения.
Показать ответ
245
Пошаговое решение
- Видим арифметическую прогрессию
Пути за отдельные секунды: 5, 15, 25, … Здесь a₁ = 5, d = 10. Путь за n-ю секунду aₙ = 5 + 10(n − 1).
- Находим, сколько секунд падал камень
За последнюю секунду 65 м: 5 + 10(n − 1) = 65, 10(n − 1) = 60, n − 1 = 6, n = 7. Камень падал 7 секунд.
- Складываем пути за все секунды
Глубина — это сумма первых 7 членов: S₇ = (a₁ + a₇)·7/2 = (5 + 65)·7/2 = 70·7/2 = 245 м. По секундам: 5 + 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65 = 245.
- Разбираем типичную ошибку
Если забыть прибавить 1 и считать, что камень падал 6 секунд, получится (5 + 65)·6/2 = 210 м — потеряна одна секунда полёта.
Ответ: 245