Условие
Какая из последовательностей является геометрической прогрессией? 1) bₙ = 2ⁿ + 1 2) bₙ = 4n 3) bₙ = n² 4) bₙ = 3·5ⁿ В ответе укажите номер выбранной последовательности.
Подсказка
Для каждой формулы разделите второй член на первый, а третий — на второй.
Формула геометрической прогрессии имеет вид bₙ = c·qⁿ без добавочных слагаемых.
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Вспоминаем признак
Последовательность ненулевых чисел — геометрическая прогрессия, если отношение bₙ₊₁ : bₙ одно и то же при всех n. Проверим каждую формулу по первым членам.
- Проверяем первые три формулы
bₙ = 2ⁿ + 1: 3, 5, 9, 17 — отношения 5/3 и 9/5 разные. bₙ = 4n: 4, 8, 12 — отношения 2 и 3/2 разные (это арифметическая прогрессия). bₙ = n²: 1, 4, 9 — отношения 4 и 9/4 разные.
- Проверяем последнюю формулу
bₙ = 3·5ⁿ: 15, 75, 375, … Отношение bₙ₊₁ : bₙ = 3·5ⁿ⁺¹ : (3·5ⁿ) = 5 при любом n.
- Делаем вывод
Геометрическая прогрессия — последовательность под номером 4, её знаменатель q = 5. Типичная ошибка — выбрать 2ⁿ + 1: степень в формуле есть, но прибавленная единица портит постоянное отношение.
Ответ: 4