Условие
Какая из последовательностей, заданных формулой n-го члена, является арифметической прогрессией? 1) aₙ = n² + 1 2) aₙ = 5 − 4n 3) aₙ = 3·2ⁿ 4) aₙ = 1/n В ответе укажите номер выбранной последовательности.
Подсказка
Выпишите для каждой формулы первые три-четыре члена.
Формула n-го члена арифметической прогрессии линейна по n: aₙ = kn + b.
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Вспоминаем признак
Последовательность — арифметическая прогрессия, если разность aₙ₊₁ − aₙ одна и та же при всех n. Найдём эту разность для каждой формулы.
- Проверяем формулы с квадратом и степенью
aₙ = n² + 1: члены 2, 5, 10, 17 — разности 3, 5, 7 растут. aₙ = 3·2ⁿ: члены 6, 12, 24 — разности 6, 12 тоже растут (это геометрическая прогрессия).
- Проверяем дробь и линейную формулу
aₙ = 1/n: 1, 1/2, 1/3 — разности −1/2 и −1/6 разные. aₙ = 5 − 4n: aₙ₊₁ − aₙ = (5 − 4(n + 1)) − (5 − 4n) = −4 при любом n; члены 1, −3, −7, −11.
- Делаем вывод
Арифметическая прогрессия — последовательность под номером 2, её разность d = −4. Типичная ошибка — думать, что при отрицательной разности прогрессия «не настоящая»: разность может быть любым числом.
Ответ: 2