Условие
В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC. Средняя линия MN отсекает от треугольника трапецию AMNC, площадь которой равна 45. Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом 1/2.
Какую долю площади ABC составляет отсечённый треугольник, а какую — трапеция?
Показать ответ
60
Пошаговое решение
- Треугольник MBN подобен треугольнику ABC
MN∥AC и MN=AC/2, поэтому треугольник MBN подобен треугольнику ABC с коэффициентом 1/2. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: S(MBN)=(1/4)·S(ABC).
- Какую часть площади занимает трапеция
Трапеция AMNC — это треугольник ABC без треугольника MBN: 1−1/4=3/4 площади ABC. Одна четверть площади равна 45:3=15.
- Находим всю площадь
S(ABC)=4·15=60. Типичная ошибка — считать, что средняя линия делит площадь пополам, и ответить 90.
Ответ: 60