Условие
Стороны треугольника ABC равны AB=13, BC=14, AC=15. Найдите площадь треугольника ABC.
Подсказка
Когда известны три стороны, площадь можно найти по формуле Герона или через высоту.
Для формулы Герона сначала найдите полупериметр.
Без формулы Герона: опустите высоту на BC и дважды примените теорему Пифагора.
Показать ответ
84
Пошаговое решение
- Находим полупериметр
Высоты не даны, но известны все три стороны, поэтому применяем формулу Герона. Полупериметр p=(13+14+15):2=21.
- Находим множители формулы
p−AB=21−13=8, p−BC=21−14=7, p−AC=21−15=6.
- Считаем площадь
S=√(p·(p−AB)·(p−BC)·(p−AC))=√(21·8·7·6)=√7056=84. Удобно разложить: 21·8·7·6=7²·(3·8·6)=7²·144=7²·12², поэтому корень равен 7·12.
- Другой способ — без формулы Герона
Опустим высоту AH на сторону BC, пусть BH=x, тогда HC=14−x. По теореме Пифагора AH²=13²−x²=15²−(14−x)², то есть 169−x²=225−196+28x−x², откуда 28x=140, x=5. Тогда AH=√(169−25)=12 и S=(1/2)·14·12=84. Типичная ошибка в формуле Герона — подставить периметр 42 вместо полупериметра.
Ответ: 84