Условие
Медианы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 42. Найдите площадь четырёхугольника OA₁CB₁.
Подсказка
Медиана делит треугольник на две части равной площади.
Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
Выразите четырёхугольник через треугольники ABA₁, ABB₁ и ABO.
Показать ответ
14
Пошаговое решение
- Каждая медиана отсекает половину площади
Медиана AA₁ делит треугольник на две равновеликие части, поэтому S(ABA₁)=42:2=21. Так же S(ABB₁)=21.
- Находим площадь треугольника ABO
Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины: BO=(2/3)·BB₁. Треугольники ABO и ABB₁ имеют общую высоту из A, поэтому S(ABO)=(2/3)·21=14.
- Складываем и вычитаем части
Треугольники ABA₁ и ABB₁ вместе покрывают всё, кроме OA₁CB₁, а треугольник ABO посчитан в них дважды: S(OA₁CB₁)=42−21−21+14=14. Это треть площади: три медианы делят треугольник на шесть равных частей, а четырёхугольник состоит из двух таких частей.
Ответ: 14