Условие
Диаметр CD окружности с центром O перпендикулярен хорде AB и пересекает её в точке M. Известно, что CM=2, MD=8. Найдите длину хорды AB.
Подсказка
Найдите радиус окружности по длине диаметра CD.
Проведите радиус OA: в прямоугольном треугольнике OMA известны гипотенуза и катет OM.
Показать ответ
8
Пошаговое решение
- Находим радиус и отрезок OM
Диаметр CD=CM+MD=2+8=10, радиус OC=10:2=5. Точка M лежит между C и O, поэтому OM=OC−CM=5−2=3.
- Находим половину хорды
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам: AM=MB. Проведём радиус OA=5. В прямоугольном треугольнике OMA: AM²=OA²−OM²=5²−3²=25−9=16, AM=4.
- Находим всю хорду
AB=2·AM=2·4=8. Проверка другим способом: AM²=CM·MD=2·8=16 — верно. Типичная ошибка — принять за OM сам отрезок CM=2: расстояние считается от центра O, а не от конца диаметра.
Ответ: 8