Условие
Из точки P к окружности проведены касательные PA и PB, A и B — точки касания. Через точку C меньшей дуги AB проведена касательная к окружности, которая пересекает отрезки PA и PB в точках M и N. Найдите периметр треугольника PMN, если PA=11.
Подсказка
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Какие точки на рисунке дают такие пары?
Разбейте MN точкой C на две части и замените каждую равным ей отрезком касательной.
Показать ответ
22
Пошаговое решение
- Вспоминаем свойство отрезков касательных
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Из точки P: PB=PA=11. Из точки M: MC=MA. Из точки N: NC=NB.
- Разбиваем сторону MN
Точка C лежит на отрезке MN, поэтому MN=MC+CN=MA+NB. Тогда периметр PM+MN+NP=PM+MA+NB+NP=(PM+MA)+(PN+NB)=PA+PB.
- Считаем периметр
PA+PB=11+11=22. Ответ не зависит от того, где на дуге взята точка C. Типичная ошибка — ответить 11, считая периметр равным одной касательной, или сложить три отрезка по 11.
Ответ: 22