Условие
В окружности с центром O проведена хорда AB длиной 48. Радиус окружности равен 25. Найдите расстояние от точки O до прямой AB.
Подсказка
Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам.
Рассмотрите прямоугольный треугольник: радиус — гипотенуза, половина хорды — катет.
Показать ответ
7
Пошаговое решение
- Опускаем перпендикуляр из центра
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра. Опустим OM⊥AB. Треугольник AOB равнобедренный (OA=OB=25 — радиусы), поэтому высота OM является и медианой: M — середина хорды, AM=48:2=24.
- Применяем теорему Пифагора
Треугольник OMA прямоугольный с гипотенузой OA=25 и катетом AM=24: OM²=OA²−AM²=25²−24²=625−576=49, OM=7.
- Проверяем
Проверка: 7²+24²=49+576=625=25². Типичная ошибка — подставить в теорему Пифагора всю хорду 48: 25²−48² меньше нуля, катет не может быть длиннее гипотенузы. Нужна половина хорды.
Ответ: 7