Условие
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 23°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Подсказка
На какие два угла диагональ BD делит угол ABC?
Найдите вписанный угол с вершиной B, опирающийся на ту же дугу, что и угол CAD.
Показать ответ
58
Пошаговое решение
- Разбиваем угол ABC диагональю
Диагональ BD выпуклого четырёхугольника проходит внутри угла ABC и делит его на два угла: угол ABC=угол ABD+угол DBC. Угол ABD известен, осталось найти угол DBC.
- Находим угол DBC
Углы DBC и DAC — вписанные и опираются на одну дугу CD (вершины A и B лежат по одну сторону от хорды CD). Такие углы равны: угол DBC=угол CAD=35°.
- Складываем
Угол ABC=23°+35°=58°. Проверка через дуги: дуга AD=2·23°=46°, дуга DC=2·35°=70°, угол ABC опирается на дугу ADC=46°+70°=116° и равен её половине, 58°. Ошибка — считать 180°−23°−35°=122°, как будто данные углы — углы одного треугольника с искомым.
Ответ: 58