Условие
Окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами 16 и 9 касаются внешним образом. Прямая касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B, и обе окружности лежат по одну сторону от этой прямой. Найдите длину отрезка AB.
Подсказка
Чему равно расстояние между центрами касающихся внешним образом окружностей?
Радиусы O₁A и O₂B перпендикулярны AB. Проведите через O₂ прямую, параллельную AB, и найдите прямоугольный треугольник.
Показать ответ
24
Пошаговое решение
- Находим расстояние между центрами
При внешнем касании точка касания окружностей лежит на отрезке O₁O₂, поэтому O₁O₂=16+9=25.
- Замечаем прямоугольную трапецию
Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: O₁A⊥AB и O₂B⊥AB. Значит, O₁A∥O₂B, и O₁ABO₂ — прямоугольная трапеция.
- Достраиваем прямоугольный треугольник
Проведём O₂H∥AB (H на O₁A). Тогда ABO₂H — прямоугольник: O₂H=AB, AH=O₂B=9, O₁H=16−9=7.
- Применяем теорему Пифагора
В треугольнике O₁HO₂: AB²=O₂H²=O₁O₂²−O₁H²=25²−7²=625−49=576, AB=24. Ошибка — считать AB равным O₁O₂=25: отрезок AB короче, он лишь проекция O₁O₂ на касательную.
Ответ: 24