Условие
Диагонали ромба ABCD равны AC=30 и BD=40. Найдите радиус окружности, вписанной в этот ромб.
Подсказка
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам — найдите сторону по теореме Пифагора.
Радиус — перпендикуляр из точки пересечения диагоналей к стороне: высота прямоугольного треугольника.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Находим сторону ромба
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения O пополам: AO=15, BO=20. В прямоугольном треугольнике AOB: AB²=15²+20²=225+400=625, AB=25.
- Понимаем, что такое радиус
Центр вписанной окружности ромба — точка O. Окружность касается стороны AB, поэтому радиус — это перпендикуляр OK из O на AB, то есть высота прямоугольного треугольника AOB, проведённая к гипотенузе.
- Находим высоту через площадь
Площадь треугольника AOB: S=15·20:2=150. С другой стороны, S=AB·OK:2, поэтому OK=2·150:25=12. Ошибка — взять половину меньшей диагонали 15: отрезок AO не перпендикулярен стороне.
Ответ: 12