Условие
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AB в точке K. AB=12, BC=15, AC=11. Найдите длину отрезка AK.
Подсказка
Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной вершины, равны. Обозначьте их x, y, z.
Сложите три стороны: чему равна сумма x+y+z? Какую сторону из неё нужно вычесть, чтобы осталось AK?
Показать ответ
4
Пошаговое решение
- Обозначаем отрезки касательных
Пусть окружность касается BC в точке L, а AC — в точке M. Отрезки касательных, проведённых из одной вершины, равны: AK=AM=x, BK=BL=y, CL=CM=z.
- Записываем стороны через x, y, z
AB=x+y=12, BC=y+z=15, AC=z+x=11. Сложив, получим 2(x+y+z)=12+15+11=38, то есть x+y+z=19 — это полупериметр p.
- Находим AK
x=(x+y+z)−(y+z)=p−BC=19−15=4. Проверка: y=12−4=8, z=11−4=7, y+z=15=BC — верно. Ошибка — считать, что K — середина AB, и ответить 6: треугольник не равнобедренный.
Ответ: 4