Условие
Две окружности имеют общий центр O. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности, AB=16. Найдите площадь кольца, заключённого между окружностями. В ответе укажите площадь, делённую на π.
Подсказка
Площадь кольца — разность площадей двух кругов; вынесите π за скобки.
Радиус меньшей окружности, проведённый в точку касания, перпендикулярен хорде AB и делит её пополам.
Показать ответ
64
Пошаговое решение
- Записываем площадь кольца
Пусть R — радиус большей окружности, r — меньшей. Площадь кольца равна разности площадей кругов: πR²−πr²=π(R²−r²). Сами радиусы не нужны — достаточно найти R²−r².
- Используем точку касания
Пусть H — точка касания хорды с меньшей окружностью. Радиус OH=r перпендикулярен касательной AB, а перпендикуляр из центра O к хорде AB большей окружности делит её пополам. Значит, H — середина хорды: AH=16:2=8.
- Применяем теорему Пифагора
В прямоугольном треугольнике OHA: OA=R, OH=r, поэтому R²−r²=AH²=8²=64. Площадь кольца равна 64π, в ответ пишем 64.
- Проверяем на примере
Если r=6, то R²=36+64=100, R=10, и π·10²−π·6²=100π−36π=64π. Типичная ошибка — возвести в квадрат всю хорду: 16²=256.
Ответ: 64