Условие
Узлы сетки O, A и B — центр и концы радиусов OA и OB закрашенной части круга, нарисованной на листе в клетку (клетка 1×1). Вычислите площадь S закрашенной части и укажите в ответе S/π.
Подсказка
Квадрат длины наклонного радиуса найдите по теореме Пифагора: сдвиги по клеткам — катеты.
Сравните ступеньки радиусов OA и OB: не получается ли одна из другой поворотом на 90°?
Площадь сектора с углом α равна (α/360)·πR².
Показать ответ
2,5
Пошаговое решение
- Находим квадрат радиуса
Оба радиуса наклонные, по клеткам их не отсчитать. Из O в A: 3 клетки вправо и 1 вверх, по теореме Пифагора OA²=3²+1²=10. Из O в B: 1 клетка влево и 3 вверх, OB²=1+9=10. Значит, R²=10; сам корень R=√10 не понадобится.
- Находим угол сектора
Ступенька «1 влево, 3 вверх» — это ступенька «3 вправо, 1 вверх», повёрнутая на 90° против часовой стрелки: катеты поменялись местами. Значит, OA⊥OB, ∠AOB=90°, и сектор — четверть круга.
- Считаем площадь
S=(90/360)·πR²=(1/4)·10π=2,5π. Тогда S/π=2,5.
- Проверяем себя
Частые ошибки: взять радиус равным 3 клеткам по горизонтали (получится 9/4=2,25) или посчитать весь круг (10). Наклонный радиус длиннее своей горизонтальной проекции.
Ответ: 2,5