Условие
Какое из следующих утверждений неверно? 1) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. 2) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. 3) Катет прямоугольного треугольника, прилежащий к углу в 30°, равен половине гипотенузы. В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Подсказка
Нарисуйте прямоугольный треугольник с углом 30° и подпишите, какой катет лежит против этого угла.
Сравните два катета такого треугольника: могут ли они оба равняться половине гипотенузы?
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Утверждение 1: катет против 30°
«Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы» — верно. Отразим треугольник симметрично относительно другого катета. Вместе с отражением получится треугольник с углами 30°+30°=60° и дважды 90°−30°=60°, то есть равносторонний, со стороной, равной гипотенузе c. Наш катет — половина его стороны: c/2.
- Утверждение 2: обратное утверждение
«Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°» — верно. Синус угла против этого катета равен (c/2):c=1/2. Острый угол с синусом 1/2 — это 30°. Это известное свойство, обратное утверждению 1.
- Утверждение 3: катет при угле 30°
«Катет прямоугольного треугольника, прилежащий к углу в 30°, равен половине гипотенузы» — неверно. Прилежащий к углу 30° катет лежит против угла 60°. Контрпример: гипотенуза 10. Катет против 30° равен 5, а прилежащий по теореме Пифагора √(10²−5²)=√75=5√3. Так как 5√3>5, он не равен половине гипотенузы.
- Записываем ответ
Неверно только утверждение 3, его номер и записываем. Типичная ошибка — забыть слово «против»: половине гипотенузы равен именно катет, лежащий напротив угла 30°, а не прилежащий к нему.
Ответ: 3