Условие
Какое из следующих утверждений верно? 1) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен сумме квадратов гипотенузы и другого катета. 2) Треугольник со сторонами 5, 6 и 8 является прямоугольным. 3) Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный. В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Подсказка
Какая сторона прямоугольного треугольника самая длинная?
Для набора сторон сравните квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Утверждение 1: кто стоит отдельно в теореме Пифагора
«В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен сумме квадратов гипотенузы и другого катета» — неверно. По теореме Пифагора отдельно стоит гипотенуза: c²=a²+b². Контрпример: катеты 3 и 4, гипотенуза 5. Квадрат катета 3²=9, а 5²+4²=25+16=41; 9≠41. Квадрат катета меньше даже одного квадрата гипотенузы, так что такое равенство невозможно ни в одном прямоугольном треугольнике.
- Утверждение 2: проверка конкретных сторон
«Треугольник со сторонами 5, 6 и 8 является прямоугольным» — неверно. Гипотенузой могла бы быть только наибольшая сторона 8. Считаем: 5²+6²=25+36=61, а 8²=64; 61≠64. Так как 64>61, угол против стороны 8 даже тупой.
- Утверждение 3: обратная теорема
«Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный» — верно. Это теорема, обратная теореме Пифагора: если c²=a²+b², то угол против стороны c прямой. Например, для сторон 6, 8, 10: 6²+8²=36+64=100=10², и угол против стороны 10 равен 90°.
- Записываем ответ
Верно только утверждение 3. Типичная ошибка — подставлять в теорему Пифагора не наибольшую сторону или проверять прямоугольность «на глаз» по близким числам.
Ответ: 3