Условие
Какие из следующих утверждений верны? 1) Если диагонали четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. 2) Если две противоположные стороны четырёхугольника равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. 3) Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. В ответ запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Подсказка
Какие признаки параллелограмма вы знаете из учебника? Сравните с ними каждое условие.
Проверьте, не подходит ли под условие утверждения равнобедренная трапеция.
Показать ответ
3
Пошаговое решение
- Проверяем утверждение 1
Неверно. Контрпример — равнобедренная трапеция ABCD с вершинами A(0; 0), B(6; 0), C(4; 2), D(2; 2). Её диагонали AC=√(4²+2²)=√20 и BD=√(4²+2²)=√20 равны, но стороны AD и BC не параллельны, поэтому это не параллелограмм.
- Проверяем утверждение 2
Неверно. У любой равнобедренной трапеции боковые стороны равны, но не параллельны, и она не параллелограмм. Например, у трапеции с основаниями 6 и 2 и высотой 2 обе боковые стороны равны √(2²+2²)=√8. Одного равенства мало: нужна ещё параллельность этих сторон или равенство второй пары.
- Проверяем утверждение 3
Верно. Это признак параллелограмма. Пусть AB=CD и AB∥CD. Для этих прямых диагональ AC — секущая, ∠BAC=∠DCA как накрест лежащие, поэтому треугольники ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда ∠BCA=∠DAC, а значит, BC∥AD: параллельны обе пары сторон.
- Записываем ответ
Верно только утверждение 3. В ответ записываем его номер. Типичная ошибка — считать, что одной пары равных противоположных сторон (без параллельности) достаточно.
Ответ: 3