Условие
Какое из следующих утверждений неверно? 1) Центр окружности, описанной около треугольника, всегда лежит внутри этого треугольника. 2) Центр окружности, вписанной в треугольник, всегда лежит внутри этого треугольника. 3) В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. В ответе запишите номер выбранного утверждения.
Подсказка
Где лежит вписанная окружность — может ли она выходить за треугольник?
Проверьте положение центра описанной окружности у прямоугольного и у тупоугольного треугольника.
Показать ответ
1
Пошаговое решение
- Проверяем утверждение 1
Неверно. У прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, он лежит на стороне, а не внутри. У тупоугольного треугольника (например, с углами 120°, 30°, 30°) центр описанной окружности лежит вне треугольника.
- Проверяем утверждение 2
Верно. Вписанная окружность касается всех трёх сторон и целиком лежит внутри треугольника, поэтому и её центр лежит внутри. Это точка пересечения биссектрис, а биссектриса каждого угла проходит внутри треугольника — у остроугольного, прямоугольного и тупоугольного одинаково.
- Проверяем утверждение 3
Верно. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, центр описанной — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам. В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая к стороне, является и медианой, и высотой, то есть лежит на серединном перпендикуляре к этой стороне. Обе точки — пересечение одних и тех же прямых, поэтому они совпадают.
- Записываем ответ
Утверждения 2 и 3 верны, неверно только утверждение 1. Спрашивают именно неверное, поэтому в ответ записываем номер 1. Типичная ошибка — переносить на описанную окружность свойство вписанной: центр вписанной всегда внутри треугольника, а центр описанной у прямоугольного лежит на гипотенузе, у тупоугольного — вне треугольника.
Ответ: 1