Условие
Какие из следующих утверждений верны? 1) Если все углы многоугольника равны, то этот многоугольник правильный. 2) Каждый угол правильного десятиугольника равен 144°. 3) Существует правильный многоугольник, каждый угол которого равен 100°. 4) Правильный многоугольник, каждый угол которого равен 150°, имеет 12 сторон. В ответ запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Подсказка
Внешний угол правильного многоугольника в сумме с внутренним даёт развёрнутый угол, а все внешние углы вместе дают полный угол.
Число сторон правильного многоугольника обязано быть целым.
Показать ответ
24
Пошаговое решение
- Проверяем утверждение 1
Неверно. У прямоугольника 3×4 все четыре угла равны 90°, но стороны не равны, поэтому он не правильный многоугольник. У правильного многоугольника равны и все углы, и все стороны.
- Проверяем утверждение 2
Верно. Сумма углов десятиугольника 180°·(10−2)=1440°. Все десять углов равны, поэтому каждый равен 1440°:10=144°.
- Проверяем утверждение 3
Неверно. Внешний угол такого многоугольника был бы 180°−100°=80°, а сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°. Число сторон n=360:80=4,5 — не целое, значит, такого многоугольника нет.
- Проверяем утверждение 4 и записываем ответ
Верно. Внешний угол равен 180°−150°=30°, число сторон n=360:30=12. Проверка: 180°·(12−2):12=1800°:12=150°. Верны утверждения 2, 4. Записываем их номера в порядке возрастания без разделителей. Типичная ошибка — считать правильным любой многоугольник с равными углами, забывая про равенство сторон.
Ответ: 24