Условие
Какое из следующих утверждений верно? 1) Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб. 2) Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. 3) Если две противоположные стороны четырёхугольника параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. В ответ запишите номер выбранного утверждения.
Подсказка
Отличайте свойство фигуры («у ромба диагонали перпендикулярны») от признака («если диагонали перпендикулярны, то это ромб») — обратное утверждение не всегда верно.
Для утверждений «если …, то …» попробуйте подобрать фигуру, у которой условие выполнено, а вывод — нет (например, трапецию).
Показать ответ
2
Пошаговое решение
- Проверяем утверждение 1
Неверно. Контрпример — четырёхугольник ABCD с вершинами A(0; 3), B(2; 0), C(0; −1), D(−2; 0). Диагональ AC лежит на оси ординат, BD — на оси абсцисс, они перпендикулярны. Но AB=√(2²+3²)=√13, а BC=√(2²+1²)=√5: стороны не равны, значит, это не ромб. Перпендикулярность диагоналей — свойство ромба, но не его признак.
- Проверяем утверждение 2
Верно. Диагональ AC делит ромб ABCD на треугольники ABC и ADC, равные по трём сторонам: AB=AD, BC=DC, AC — общая. Поэтому ∠BAC=∠DAC и ∠BCA=∠DCA, то есть AC делит углы A и C пополам. Так же диагональ BD делит пополам углы B и D.
- Проверяем утверждение 3
Неверно. У любой трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие (боковые стороны) — нет. Например, трапеция с основаниями 6 и 3 не является параллелограммом. У параллелограмма параллельны обе пары противоположных сторон.
- Записываем ответ
Верно только утверждение 2, остальные опровергнуты. В ответ записываем его номер. Типичная ошибка — считать признаком ромба перпендикулярность диагоналей: она есть и у четырёхугольников, которые ромбами не являются (как в контрпримере к утверждению 1).
Ответ: 2