Условие
Какие из следующих утверждений верны? 1) Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис. 2) Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. 3) Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения его высот. В ответ запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Подсказка
Вспомните, от чего равноудалён центр вписанной окружности, а от чего — центр описанной.
Проверьте последнее утверждение на прямоугольном треугольнике: где пересекаются его высоты?
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- Утверждение 1: центр вписанной окружности
«Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис» — верно. Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон, а точки внутри угла, равноудалённые от его сторон, лежат на биссектрисе. Значит, центр лежит на всех трёх биссектрисах.
- Утверждение 2: точка пересечения медиан
«Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины» — верно. Это свойство медиан: каждая из них делится точкой пересечения на части 2:1, большая часть — у вершины. Например, медиана длины 9 делится на 6 и 3.
- Утверждение 3: центр описанной окружности
«Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения его высот» — неверно. Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, а не высот. Контрпример: прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Его высоты пересекаются в вершине прямого угла, а центр описанной окружности — середина гипотенузы. Это разные точки.
- Записываем ответ
Верны утверждения 1 и 2. Записываем номера по возрастанию без пробелов: 12. Типичная ошибка — путать замечательные точки: у вписанной окружности — биссектрисы, у описанной — серединные перпендикуляры, высоты дают ещё одну, отдельную точку.
Ответ: 12