Условие
Какие из следующих утверждений верны? 1) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 2) Диагонали любого параллелограмма равны. 3) Диагонали любого параллелограмма перпендикулярны. 4) Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника. В ответ запишите номера выбранных утверждений в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Подсказка
Вспомните, какие свойства диагоналей есть у любого параллелограмма, а какие — только у прямоугольника или ромба.
Проверьте ложные на вид утверждения на параллелограмме с неравными сторонами и непрямыми углами.
Показать ответ
14
Пошаговое решение
- Проверяем утверждение 1
Верно. Пусть O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам: AB=CD, ∠OAB=∠OCD и ∠OBA=∠ODC как накрест лежащие. Значит, AO=OC и BO=OD.
- Проверяем утверждение 2
Неверно. У параллелограмма ABCD с вершинами A(0; 0), B(6; 0), C(9; 4), D(3; 4) диагонали AC=√(9²+4²)=√97 и BD=√(3²+4²)=5 разные. Равные диагонали бывают только у параллелограмма-прямоугольника.
- Проверяем утверждение 3
Неверно. Диагонали параллелограмма делятся пополам; если бы они были ещё и перпендикулярны, каждая была бы серединным перпендикуляром к другой, и все стороны оказались бы равными — получился бы ромб. У параллелограмма со сторонами 6 и 5 стороны не равны, значит, его диагонали не перпендикулярны.
- Проверяем утверждение 4 и записываем ответ
Верно. Диагональ AC делит параллелограмм ABCD на треугольники ABC и CDA. У них AB=CD и BC=DA (противоположные стороны параллелограмма), AC — общая сторона, поэтому они равны по трём сторонам. Верны утверждения 1, 4. Записываем их номера в порядке возрастания без разделителей. Типичная ошибка — приписывать любому параллелограмму свойства прямоугольника (равные диагонали) или ромба (перпендикулярные диагонали).
Ответ: 14