Условие
Решите неравенство (3x − 5)² ≤ (x + 1)².
Подсказка
Перенесите всё в одну часть: какая формула сокращённого умножения подходит?
Можно ли сравнивать сами выражения, если сравниваются их квадраты?
Показать ответ
[1; 3]
Пошаговое решение
- Переносим всё в одну часть
(3x − 5)² − (x + 1)² ≤ 0. Слева разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b), где a = 3x − 5, b = x + 1.
- Раскладываем на множители
a − b = 3x − 5 − x − 1 = 2x − 6; a + b = 3x − 5 + x + 1 = 4x − 4. Неравенство: (2x − 6)(4x − 4) ≤ 0, то есть 8(x − 3)(x − 1) ≤ 0, или (x − 3)(x − 1) ≤ 0.
- Решаем квадратное неравенство
Корни 1 и 3, ветви параболы вверх, значит, произведение неположительно на отрезке 1 ≤ x ≤ 3.
- Проверяем точки
x = 2: (1)² = 1 ≤ 3² = 9 — верно. x = 0: 25 ≤ 1 — неверно. x = 1: 4 ≤ 4 — верно; x = 3: 16 ≤ 16 — верно, концы входят.
- Записываем ответ и ищем ошибку
Итог: [1; 3]. Типичная ошибка — «извлечь корень» из обеих частей: 3x − 5 ≤ x + 1, x ≤ 3. На самом деле квадраты сравниваются как |3x − 5| ≤ |x + 1|, и, например, x = 0 не подходит.
Ответ: [1; 3]
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ [1; 3]: применена разность квадратов, получено (x − 3)(x − 1) ≤ 0, корни 1 и 3 найдены, выбран промежуток между ними с включёнными концами.
- 1
- Разложение на множители выполнено верным способом и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка в множителях или корнях, либо ошибка во включении концов.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.