Условие
Решите уравнение x⁶=(5x−6)³.
Подсказка
Представьте x⁶ как куб некоторого выражения.
Сколько чисел имеют один и тот же куб?
Показать ответ
2; 3
Пошаговое решение
- Записываем обе части как кубы
x⁶=(x²)³, поэтому уравнение имеет вид (x²)³=(5x−6)³. Раскрывать (5x−6)³ не нужно.
- Переходим к равенству оснований
Функция y=t³ возрастает на всей числовой прямой, поэтому равные кубы бывают только у равных чисел: a³=b³ ⇔ a=b. В отличие от квадратов, здесь нет второго случая a=−b. Получаем x²=5x−6.
- Решаем квадратное уравнение
x²−5x+6=0. Сумма корней 5, произведение 6, значит x=2 или x=3 (разложение (x−2)(x−3)=0).
- Проверяем корни
x=2: 2⁶=64 и (10−6)³=4³=64. x=3: 3⁶=729 и (15−6)³=9³=729. Оба корня подходят, а переход a³=b³ ⇔ a=b равносилен, поэтому других корней нет.
- Разбираем типичную ошибку
Если по аналогии с квадратами добавить случай x²=−(5x−6), получится x²+5x−6=0 и лишние числа 1 и −6. Они не корни: при x=1 левая часть 1, а правая (5−6)³=−1. Ответ содержит только 2 и 3.
Ответ: 2; 3
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ 2; 3: уравнение записано как (x²)³=(5x−6)³, переход к x²=5x−6 обоснован монотонностью куба, лишний случай x²=−(5x−6) не добавлен.
- 1
- Верно выполнен переход к уравнению x²=5x−6 и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка при нахождении корней квадратного уравнения.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.