ОГЭ, задание 20: Система уравнений

Найдите значения x, при которых выражения под модулями равны нулю.

На каждом промежутке найденный корень должен принадлежать этому промежутку.

1. Находим точки смены знака

   Выражения под модулями обращаются в ноль при x=1 и x=−3. Эти точки делят прямую на три промежутка: x<−3, −3≤x<1, x≥1. На каждом раскрываем модули со своими знаками.

2. Промежуток x<−3

   Здесь x−1<0 и x+3<0, поэтому |x−1|=1−x, |x+3|=−x−3. Уравнение: 2(1−x)−(−x−3)=1, 2−2x+x+3=1, −x+5=1, x=4. Но 4 не принадлежит промежутку x<−3, корня здесь нет.

3. Промежуток −3≤x<1

   Здесь |x−1|=1−x, |x+3|=x+3. Уравнение: 2(1−x)−(x+3)=1, 2−2x−x−3=1, −3x=2, x=−2/3. Число −2/3 лежит в промежутке [−3; 1) — это корень.

4. Промежуток x≥1

   Здесь |x−1|=x−1, |x+3|=x+3. Уравнение: 2(x−1)−(x+3)=1, 2x−2−x−3=1, x=6. Число 6≥1 — это корень.

5. Проверяем и отмечаем ошибку

   x=−2/3: 2·(5/3)−7/3=10/3−7/3=1. x=6: 2·5−9=1. Три промежутка покрывают всю прямую, других корней нет. Типичная ошибка — не проверить принадлежность промежутку и включить в ответ x=4 из первого случая (при x=4 получается 2·3−7=−1≠1).

Ответ: −2/3; 6

2

Обоснованно получен ответ −2/3; 6: рассмотрены все три промежутка, модули раскрыты верно, значение x=4 отброшено как не принадлежащее промежутку x<−3.

1

Рассмотрены все три промежутка и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка или не отброшен посторонний корень x=4.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.