Условие
Решите неравенство −21/(x² − 2x − 24) ≥ 0.
Подсказка
Какой знак у числителя и может ли дробь быть равна нулю?
Какой знак должен иметь знаменатель, чтобы дробь с таким числителем была положительной?
Показать ответ
(−4; 6)
Пошаговое решение
- Анализируем числитель
Числитель −21 — отрицательное число при любом x, поэтому дробь никогда не равна нулю. Условие «≥ 0» выполняется только тогда, когда дробь положительна, а для этого знаменатель должен быть отрицательным.
- Переходим к квадратному неравенству
Получаем x² − 2x − 24 < 0. Находим корни трёхчлена: D = (−2)² − 4·1·(−24) = 4 + 96 = 100, √D = 10, x₁ = (2 − 10)/2 = −4, x₂ = (2 + 10)/2 = 6.
- Решаем квадратное неравенство
Ветви параболы y = x² − 2x − 24 направлены вверх, поэтому она отрицательна строго между корнями: −4 < x < 6. Концы −4 и 6 не входят: в них знаменатель равен нулю.
- Проверяем внутреннюю и внешнюю точку
При x = 0: −21/(−24) = 7/8 ≥ 0 — верно. При x = 7: знаменатель 49 − 14 − 24 = 11, дробь −21/11 < 0 — неверно, так и должно быть.
- Записываем ответ и ищем ошибку
Итог — интервал (−4; 6). Типичные ошибки: «потерять» минус числителя и решить x² − 2x − 24 > 0, получив (−∞; −4) ∪ (6; +∞), или включить концы −4 и 6 из-за знака «≥».
Ответ: (−4; 6)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−4; 6): объяснено, что числитель −21 < 0 и дробь не равна нулю, поэтому знаменатель отрицателен; корни −4 и 6 найдены верно, концы исключены.
- 1
- Верно выполнен переход к неравенству x² − 2x − 24 < 0 и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка в корнях либо ошибочно включены концы −4 и 6.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.