Условие
Решите неравенство (9 − x²)/(x − 5) ≥ 0.
Подсказка
Вынесите минус из числителя и разложите x² − 9 на множители.
Какие точки нужно выколоть, а какие закрасить при нестрогом знаке?
Показать ответ
(−∞; −3] ∪ [3; 5)
Пошаговое решение
- Записываем область определения
Знаменатель не может быть равен нулю: x − 5 ≠ 0, то есть x ≠ 5.
- Приводим к стандартному виду
Вынесем минус из числителя: 9 − x² = −(x² − 9). Умножив обе части на −1, меняем знак неравенства: (x² − 9)/(x − 5) ≤ 0. По формуле разности квадратов x² − 9 = (x − 3)(x + 3), получаем (x − 3)(x + 3)/(x − 5) ≤ 0.
- Отмечаем точки на прямой
Нули числителя −3 и 3 отмечаем закрашенными: в них дробь равна 0, а неравенство нестрогое. Нуль знаменателя 5 — выколотый: там дробь не определена.
- Расставляем знаки
При x = 6: 27/1 > 0; при x = 4: 7/(−1) = −7 < 0; при x = 0: (−9)/(−5) = 9/5 > 0; при x = −4: 7/(−9) < 0. Все множители первой степени, поэтому знаки чередуются: +, −, +, − справа налево.
- Выбираем промежутки и проверяем
Нужны промежутки со знаком «−» вместе с закрашенными точками: (−∞; −3] ∪ [3; 5). Точка 5 не входит — там знаменатель равен нулю. Проверка исходного неравенства: при x = 4 дробь (9 − 16)/(4 − 5) = 7 ≥ 0 — верно. Типичные ошибки — забыть сменить знак при умножении на −1 или умножить на x − 5, не думая о его знаке, и получить [−3; 3]; но при x = 0 дробь равна −9/5 < 0.
Ответ: (−∞; −3] ∪ [3; 5)
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ (−∞; −3] ∪ [3; 5): учтено x ≠ 5, числитель разложен на множители, знаки на всех четырёх промежутках определены верно, точки ±3 включены, 5 исключена.
- 1
- Метод интервалов применён верно и решение доведено до конца, но допущена одна ошибка: не сменён знак при умножении на −1, включена точка 5 или не включена одна из точек ±3, либо одна вычислительная ошибка.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.