Условие
Решите уравнение x³−2x²=9x−18.
Подсказка
Перенесите всё в левую часть и сгруппируйте первые два и последние два слагаемых.
В обеих группах после вынесения множителя должна остаться одна и та же скобка.
Показать ответ
−3; 2; 3
Пошаговое решение
- Переносим всё в одну часть
x³−2x²−9x+18=0. Кубическое уравнение общей формулой не решают — ищем разложение на множители.
- Группируем слагаемые
Из первых двух слагаемых выносим x², из последних двух −9: x²(x−2)−9(x−2)=0. Проверяем знак: −9·(−2)=+18, как в уравнении.
- Выносим общий множитель
(x−2)(x²−9)=0, а x²−9=(x−3)(x+3) по формуле разности квадратов. Получаем (x−2)(x−3)(x+3)=0.
- Приравниваем множители к нулю
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а остальные имеют смысл (здесь все выражения определены при любом x): x=2, x=3 или x=−3.
- Проверяем и отмечаем ошибки
x=2: 8−8=0 и 18−18=0. x=3: 27−18=9 и 27−18=9. x=−3: −27−18=−45 и −27−18=−45. Типичные ошибки: разделить обе части x²(x−2)=9(x−2) на x−2 и потерять корень 2; из x²=9 взять только x=3 и потерять −3.
Ответ: −3; 2; 3
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получен ответ −3; 2; 3: выполнена группировка x²(x−2)−9(x−2), вынесен общий множитель без деления на x−2, найдены оба корня уравнения x²=9.
- 1
- Разложение на множители выполнено верно и решение доведено до конца, но допущена одна вычислительная ошибка или потерян один корень (2 при делении на x−2 либо −3).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.